Partirei da una buona notizia, perché la premessa da cui muovi è più pessimistica del dovuto. Non sei affatto ostaggio del fornitore che non risponde alla PEC. L'ordinamento prevede proprio per questi casi la regolarizzazione da parte del cessionario o committente ex art. 6, comma 8, del d.lgs. 471/1997, che nella pratica della fatturazione elettronica si è tradotta nell'autofattura con codice documento TD20 trasmessa allo SdI, con i dati del fornitore come cedente e i tuoi come committente. È una strada che percorri da solo e che ti consente di registrare e detrarre. Segnalo però che il d.lgs. 87/2024 ha rimaneggiato quel meccanismo, quindi su quale versione si applichi alla tua fattura, per data dell'operazione, fatti dire dal commercialista qual è la procedura corretta.
Sulla responsabilità, l'obbligo di emettere la fattura con i dati corretti è del cedente ex art. 21 del d.p.r. 633/1972, e quindi l'errore è suo. Il fornitore avrebbe potuto e dovuto sistemare con una nota di variazione ex art. 26 e riemettere il documento corretto, e la sua inerzia dopo una PEC di segnalazione è, a mio avviso, difficilmente giustificabile.
Sul "come procedere in giudizio" sarei però brutalmente pratico. Una causa civile per ottenere l'emissione di una fattura corretta e il risarcimento ha senso solo se il danno è reale e dimostrabile, e se ti regolarizzi da solo il danno si riduce quasi a nulla, restando al più il costo dell'adempimento e dell'assistenza. Considerato quello che costa un giudizio, direi che conviene molto di più chiudere la partita per via amministrativa e, se proprio il rapporto commerciale è compromesso, tenersi l'inadempimento come argomento in sede di pagamento delle fatture successive.